在以直线的线段为边的封闭图形中，三角形是最基础的最简单的图形。三角形，体现了“边、角、形”的最基础关系；也是反映“数与形”结合的最基础的系列关系。所以，三角形、勾股定理、三角函数（我愿称之为跑圈函数），成为平面几何学的重点。
一、三角形的奇特性
三角形，有三个角、三条边。三条直线边围成三个角，这种封闭图形就是“三角形”，又叫“三边形”。三角形的三个内角的角度之和，为一百八十度180°)。
三角形是角与边长关系最稳定的图形。 若改变一个角的角度，就必然会改变其对应的边长。若改变三角形一条边长，就必然会改变那个角的角度。三角形的“边与角”的关系十分稳定。有“变”则相应跟着“变”；不“变”就都不“变”。边角的“伴侣”关系“铁”得很。
三角形有三个顶点，且只有三个角的顶点。三角形内在隐函的特殊线段，都与这三个顶点相关：
将一个角的角度，平分为两半的线，叫角平分线。角平分线上的任一点，到角的两边线的距离都相等。三角形的角平分线是将顶角平分为两半、并从顶点引向对边的边线相交点的线段。三角形的三条角平分线相于一点，叫三角形的内心。三角形的内心，是与三条边相切的内切圆的圆心。
三角形的边线中点与对应角顶点的连线，叫中线。三角形的三条边的中线，相交于一点，叫作外心。外心是三角形外接圆的圆心。 三角形三条边中点与中点连线，叫中位线。中位线平行于底边，且为底边的一半。
三角形的角顶点到底边(或底边的延长线)的垂直线，叫角垂角线；三条边的角垂线，相交于一点，这一点叫作三角形的重心。通常将角垂线叫做三角形的高。三角形的面积等于底边乘高之积的二分之一。
三角形的“角平分线、角中线、角垂线”，是三角形内在的隐含的三种特殊钱段。这也是三角形“作图、证明、计算”的重要的辅助线，是可以根据需要，允许随时添加的这类线段。 这三大辅助助线、以其相关的定理，是三角形的已知条件中，不言自明的间接的已知条件。
角平分线定理
定理1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
定理2：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
二、三角形的分类
三角形按角的大小分类，分为钝角三角形、直角三角形、锐角三角形。三角形中若有一个角是九十度(90°)的直角，就是直角三角形；若有一个角是大于九十度(90°)的钝角，就是钝角三角形；若三个角都是小于九十度(90°)的锐角，就是锐角三角形。
三角形若按边长是否相等来分类，可分为：等边三角形(三条边均相等)、等腰三角形(其中有两条边相等)、不等边三角形(三条边都不相等)。
等边三角形，不仅三条边相等，三个角也相等。每个角都等于60°。而且等边三角形的三条中线与三条角平分线、三条(角垂线)高，都相等。
等腰三角形，两条腰边线相等、对应的两底角相等。底边的高、中线与顶角平分线相同、相等。
直角三角形，有等腰直角三角形，两底角均为45°；有30°、60°、90°的直角三角形…等。直角三角形是所有三角形中的最具特色的三角形，是三角形中的“领头羊”；任意三角形都可以分拆为两个直角三角形。 勾股定理、毕达哥拉斯定理，三角函数（跑圈函数）……就是关于直角形的边与角关系的重要定理和推理。
（一）等边三角形的奇妙
在三角形中，最奇妙的是等边三角形。
等边三角形，不仅三条边相等，三个角也相等。每个角都等于60°。而且等边三角形的三条中线与三条角平分线、三条(角垂线)高，都相等。这三条线(中线、角平分线、角垂线即“高”)又将这个等边的大三角形，分成两个“全等”的特殊的直角小三角形(这个小的特殊三个角形的三个角，分别为90°、60°、30°；30°角所对的短直角边为斜边的一半，其三条边的比例为2：1： )。
（二）直角等腰三角形的奇妙
顶角为直角的等腰三角形，是在直角三角形与等腰三角形的结合，兼具这两类三角形的特殊性。它即是两腰边长相等、两底角相等；又是两底角为45°，而且“高”是底边的二分之一；两直角边的平方之和，等于斜边的平方；其顶角的角平分线、底边的中线与高，三线合一，为同一条线段，并将这个直角等腰的大三角形，分折成为两个“全等”的直角等腰的小三角形。
（三）直角三角形(勾股三角形)的奇妙
任一直角三角形，三条边的关系是有固定规律的：“两条直角边的边长平方之和，等于斜边长的平方”。
这就是著名的“勾股定理”，也叫“毕达哥拉斯定理”。用现代数学符号表示， a^2+b^2=c^2.
其中，a、b 是三角形的直角边，c 是其斜边。这个等式的意思是：两直角边的平方数，相加之和，等于斜边的平方数。这就是 “ aˇ2 + bˇ2 = cˇ2 ”。“两直角边的平方数，相加之和，等于斜边的平方数”的证明，历史上已有“数百种”方法，作出了证明。这是毕达哥拉斯给出的经典证明：
西方古代的这个数学家发现这个定理，宰百头牛，举办“百牛宴”进行庆贺，曾将这个定理称为“百牛定理”。 他们还通过这个定理，发现了“无理数”。即a2+b2=c2； 若a=b=1，则c==
。导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数与有理数”的差别，这就是所谓第一次数学危机。
毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。它是人们认识宇宙中“形的规律”的自然起点，无论在东西方文明起源过程中，都有着很多动人的故事。中国古代数学著作《九章算术》的第九章即为勾股术，并且整体上呈现出明确的算法和应用性特点，这与欧几里得《原本》第一章的毕达哥拉斯定理及其显现出来的形象推理和纯抽象推理特点恰好形成煜煜生辉的两极，令人敬佩。勾股定理还利用“勾3、股4、弦5”作三角形的边，来判别直角和直角三角形，来制作直角三角形工具。世世代代的木工师傅的“角尺”、“尺规”，就是这样的广泛用来制定直角的规矩工具。此外，从勾股定理出发，引伸出“开平方、开立方、求圆周率”等；有些运用勾股定理的数学家，还发现了无理数。
三、三角形的相似与全等
（一）相似三角形
1.相似三角形的性质
(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
2.相似三角形的判定
(1)两角对应相等，两个三角形相似；
(2)两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；
(3)三边对应成比例，两个三角形相似。
（二）全等三角形
全等三角形的判定
1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4.有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
5.三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形全等。
四、三角形的面积
在三角形与其它多边形的关系中，直角三角形与四方形(包括正方形与长方形)的关系最为密切，相关要素、相同要素比较多；特别在求面积的计算方面，几乎如同出一辙。实际上是先求四方形的面积，再求三角形的面积。
面积的单位为“长与宽”的边长均为1个单位的正方形面积；即为1平方单位量(米、厘米、公里……等)。
几何面积，即平面图形的封闭面的“长度与宽度相乘”之“积”。 面积的计算方法：“长乘以宽，等于面积”。这种通常说法，只是指四方形面积的求法。 四方形的四个角都直角，四条边线两两平行、相邻边线又相互垂直。因此，以一边的长为长度，另一相邻边线的长就是宽度；即长乘宽，也就是“一个直角”的两条边相乘，等于面积。但对于不是方形的“四边形、多边形”，其求面积的方式就不一定是“长乘宽”了，因为其它这些图形的长度和宽度，不一定保持左右或上下的一致。只能用它的平均长度或平均宽度(高度)求其面积。四方形面积为长度(a)乘以宽度(b)，即a*b=ab；梯形平积等于“上底(a)加下底(b)之和、除以二”(平均长度)，再乘以高度h(平均宽度)；等于梯形面积即h*(a+b)/2。 三角形面积为底边(a)的一半乘以高(h)，即(1/2)a*h =(a*h)/2 = ah/2。
三角形的面积等于同等“边长与高”的方形面积的一半。 即直角三角形的两直角边长为a与b，(即为四方形的长与宽、三角形的高与底边；) 那么，四方形面积为(ab)，是三角形面积(ab/2)的二倍。
三角形的底边的二分之一长度，即为两腰边的中位线。因此，三角形的面积，又可看作中位线与这边线的高的乘积。
四方形的面积，也可看“上边长加下半长的平均值”与“左边宽加右边宽”的平均值的乘积。而“长乘宽，只不过是这种复式的简化式。例上边长a，加下边长a的平均值为(a+a)/2=a ；左边宽b加右边宽b”的平均值为(b+b)/=b；它们的乘积简化为ab。而正方形四边长度相同，因此其面积ab，因a=b而变为a*a的乘积，即为a的平方幂(a^2 )。
三角形面积的计算方法，可推广为“求多边形面积”的方法。首先将多边形，拆分、化作“四边形或三角形”，再用三角形求面积方法，求各分拆图形的面积及其面积之和。
五、三角形的“边与角”计算
三角形是由三条线段围成一个的封闭形的三角图形。但并不是任何长短的三条线段，都可以围成一个三角形。 三角形中“两边之和，大于第三边；两边之差，小于第三边”。即：
三角形的两条边线的长度之“和”，“大于”第三边线的长度；
（两点之间，直线最短）
两条边线的长度之“差”，“小于”第三边线的长度。
（不等式变形）
?因此，只有两条线段的长度之和，大于第三条线段的长度；两条线段的长度之差，小于第三条线段的长度；这样的三条线段，才能围成一个三角形。
一个三角形的周长(S)，等于三角形的三条边线(边线a、边线b、边线c)之和。即S=a+b+c；a=s-b-c；b=s-a-c；c=s-a-b 。因此，已知三角形的周长和两条边长，可求出另一条边长。
一个三角形的三个内角之和，等于一百八十度(180°)。 当已知一个三角形的任意两角的角度，则可求出另一角的角度。 即∠A+∠B+∠C=180°； 180°-∠A-∠B=∠C； 180°-∠A-∠C=∠B； 180°-∠C-∠B=∠A。
当已知一个三角形的任意两条边长和夹角α的角度，可求出另一条边的边长。
当已知一个三角形的任意两个角的角度和所夹的一条边长时，可求出另两条边的长度。
三角形的边角关系的证明、推演、求值，都是从通过三角形中的“已知角度去求未知角度”，通过“己知线段的长度”，去求出“未知线段的长度”。
这源于三角形有两条重要相似定理：
(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
也就是说，角和边是相互决定的，测量好角度就可以知道边的比例，而不需要跑去逐个测量再求比值，更不用说比如山的高度，河的宽度这些无法直接测量的数值。所以这么优秀的工具，肯定会有数学家进行开发。为了更简单的研究这种比值关系，可以将角放在直角三角形中，因为任一三角形都可以通过做高变成两个直角三角形，固定一个锐角，三角形的性状也就固定，各个边的比值也就固定了。这个角的变化，带来三个边的比值变化。直角三角形的边与角的关系，就构成一个对应映射关系（函数）。
直角三角形ΔABC中，若角C为直角，直角C所对的斜边，为线段c；角B为锐角(小于90度或大于45度)，角B所对的直角边为线段b；角A为另一锐角(小于45度或等于45度)，角A所对的直角边为线段a ；定义
角A的正弦sin?A＝a/c， 余弦cos?A＝b/c，正切tan?A＝a/b；余切cot A=b/a；正割sec A=c/b；余割csc A=c/a。
特殊角三角函数的值（都可以运用几何作图方式求得，体现数形结合）：
若角A为0度，则正弦sin?0°＝0， 余弦cos?0° =1，正切tan?0° =0；
若角A为15度，则正弦sin?15°＝（-
）/4， 余弦cos?15° =（
+
）/4，正切tan?15° =2-
；
若角A为30度，则正弦sin?30°＝1/2， 余弦cos?30° =/2，正切tan?30° =
/3；
若角A为45度，则正弦sin?45°=/2， 余弦cos?45°＝
/2，正切tan?45°＝1；
若角A为60度，则正弦sin?60°=()/2， 余弦cos?60° =1/2，正切tan?60° =
；
若角A为75度，则正弦sin?15°＝（+
）/4， 余弦cos?15° =（
-
）/4，正切tan?15° =2+
；
若角A为90度，则正弦sin?90°=1， 余弦cos?90°=0，正切tan?90°无；
思路拓展1：求任意锐角的正余弦、正余切和正余割。
这应该是人们发明正余弦、正余切和正余割研究角度后，最迫切想完成的事情。只有知道任意角度（锐角）对应的比值精确值，才能真正使人们在大型物体高度测量、天文测量、航海定位工作中获得帮助。30度45度60度，是直角三角形中的特殊存在，让人类利用几何作图的方式，“投机取巧”的获得了数值，其余角的数值需要更复杂的计算。
思路拓展2：锐角三角形的边角关系。
锐角三角形，可以通过辅助线将其本体划分为两个直角三角形，利用直角三角形得出的正余弦、正余切和正余割数值相互作用，应该可以展示锐角三角形的边角关系，将工具的功能继续放大。
借助两个思路，科学家们投身了三角形的研究中，硕果累累，无数三角定律、运算公式横空出世。
（一）正弦定理
在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。
证明思路：
（二）余弦定理
对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：
a2 = b2 + c2- 2bc·cosA
b2 = a2 + c2 - 2ac·cosB
c2 = a2 + b2 - 2ab·cosC
也可表示为：
cosC=（a2 +b2 －c2）/ 2ab
cosB=（a2 +c2 -b2）/ 2ac
cosA=（c2 +b2 -a2）/ 2bc
这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定理用于在一个三角形的两个边和夹角已知时确定未知的数据。
证明思路：
（三）面积公式
（4）海伦公式
