生存分析8-参数模型

Cox回归模型为半参数模型，它不对基线风险函数进行估计。如果生存资料确实符合某一特定分布，采用实际分布能够更准确的估计对应参数。对半参数回归对应为参数模型（parameteric models）。包括指数分布和weibull分布等。

-各个函数之间的关系

?????- 死亡概率密度函数：

?????- 死亡累积概率密度函数：

?????- 生存函数：

?????- 风险函数：

?????- 累积风险函数：

?????- 生存函数与累积风险函数的关系：

-指数分布

?????-概率密度函数：

?????-累积概率密度函数： （F(t)求导为f(t)）

?????-生存函数：

?????-风险函数：，由此可见指数分布的风险恒定为λ

?????-累积风险函数：

?????-中位数：

?????-均值：

?????由生存函数可得， -log{S(t)}=λt，即与生存时间t呈线性。因此可以通过对-log(S(t))与t绘图是否呈过原点的直线来判断该生存资料是否符合指数分布。
?????SAS中通过proc lifetest data=XX plots=(logsurv) 绘图实现。

-威布尔分布

?????- 死亡概率密度函数：

?????- 死亡累积概率密度函数：

?????- 生存函数：

?????- 风险函数：

?????当γ=1时，为指数分布。
?????分布具有两个参数：
??????????γ：Shape parameter
??????????λ：Scale parameter
??????????中位数：

?????对生存函数取log(-log)：。当与呈直线时，可以考虑符合weibull分布。该图的截距为logλ近似估计参数λ，斜率近似为γ。如果两条线平行，则考虑符合等比例风险假设。 ?????当斜率γ=1，此时为指数分布。

-参数估计

均通过极大似然估计(Maximum likelihood estimation)求参数。似然函数
??????????????????????????????????????????????????????????????，
其中n为受试者数，δi=1(事件发生)，δi=0(删失)。将对应的f(t)及S(t)带入后求极大值（求对数后求导，导数为0时即最大值）

指数分布

e.g.

变量
	1	1	2	3	3	5	8	10	16	18
	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1

Weibull分布

weibull分布的参数估计需要通过迭代的方法计算。

-引入协变量

当生存资料中除时间以外还存在其他变量的影响时，需要将变量考虑进回归模型。与Cox回归类似。
由于时间t不为负，将其取对数后变换为在(-∞,∞)之间，可以采用线性回归模型（对数时间线性模型）。
，为常数，为随机误差服从某一特定分布。
则 ，当所有协变量为0时为不受协变量影响时的基准生存时间，需要包括在模型中。

*加速失效模型
*服从极值分布时，对应指数分布和weibull分布

指数分布：当时，的分布为时，为指数分布 ，

weibull分布：当为常数（需要从数据中估计），分布不变，
为weibull分布 ，
，。
表示为风险函数：=，此时scale变为λexp(β'x')，shape仍为γ不变。当所有协变量为0时，基准风险率为，此时模型中不需要包括。

-SAS 实现

Proc lifereg data=XXX
Class XX;
model timestatus()=XX XX /dist=exponential;
model timestatus()=XX XX /dist=weibull;
run;
计算出线性模型中后，可以通过相应的公式估算及的值。